La raíz de 2

by 3 comments

En la nota anterior (Antes de π) hicimos uso de la raíz de 2 para calcular el valor de π con diferentes grados de precisión:

$$\begin{align*}
2\sqrt{2} &=2.8284…\\
2^2\sqrt{2 – \sqrt{2}}&=3.0614…\\
2^3\sqrt{2 – \sqrt{2+\sqrt{2}}}&=3.1214…\\
2^4\sqrt{2 – \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}&=3.1365…\\
2^5\sqrt{2 – \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}&=3.1403…\\
\end{align*}$$

Pero calcular la raíz de 2 sin una calculadora digital o una computadora no es tan fácil ahora y lo era menos en otros tiempos y otras culturas, como la griega o la romana, que usaban una notación numérica que hacía difícil realizar incluso las operaciones más sencillas de sumar, restar, multiplicar y, ya no se diga, dividir.

Lo que podemos hacer es aplicar el mismo método que usamos para calcular π; esto es, ir aproximadando el valor de \(\sqrt{2}\) hasta lograr la precisión que querramos o necesitemos. Empecemos con el segmento entre 1 y 2 en la recta numérica.

Segmento 1 a 2

Como el cuadrado de 1 es 1 (que es menor que 2) y el cuadrado de 2 es 4 ( que es mayor que 2), la raíz cuadrada de 2 debe estar en alguna parte en ese segmento. Dividamos el segmento por la mitad y consideremos el punto medio, 1.5.

Aproximación a raíz de 2 con 1.5

Como el cuadrado de 1.5 es 2.25 (que es mayor que 2) entonces la raíz cuadrada de 2 debe estar entre 1 y 1.5, por lo que ahora toca dividir ese segmento por la mitad y considerar su punto medio, 1.25.

Aproximación a raíz de 2 por 1.25

Como el cuadrado de 1.25 es 1.5625 (que es menor que 2) entonces la raíz cuadrada de 2 debe estar entre 1.25 y 1.5 y podemos seguir el mismo procedimiento, cortando este segmento en 1.375, cuyo cuadrado es 1.89062, menor pero bastante cerca ya de 2.

Aproximación de raíz de 2 por 1.375

Si repetimos el procedimiento dos veces más obtenemos los números 1.4375 (que al elevarlo al cuadrado nos da 2.06641) y 1.40625 (que al elevarlo al cuadrado nos da 1.97754).

De esta manera podemos acercarnos a la raíz de 2 tanto como queramos y además sabemos el tamaño máximo de nuestro error: el tamaño del segmento donde se ubica la raíz. Las multiplicaciones se hacen cada vez más largas porque cada vez tenemos más digitos en el último número, pero es el precio que tenemos que pagar por un cálculo cada vez más preciso.

Aproximación a raíz de 2 Error máximo

1.5

0.5

1.25

0.25

1.375

0.125

1.4375

0.0625
1.40625

0.03125