Al infinito y justo ahí

En la primera nota de este blog, Antes de Pi (\(\pi\)), se presenta una manera de aproximar el valor de \(\pi\) tanto como sea necesario mediante la construcción de polígonos inscritos en un círculo Asimismo, en la segunda nota de este blog, La raíz de 2, se usa un esquema similar para aproximar el valor de \(\sqrt{2}\) tanto como sea necesario. Esto es parecido cuando decimos que

\[\frac{1}{3} = 0.333333\dots\]

queriendo expresar con ello que podemos acercarnos a \(\frac{1}{3}\) tanto como queramos agregando el digito 3 tantas veces como sea necesario a la derecha del punto decimal. Pero en este caso damos un paso más allá al escribir

\[\frac{1}{3} = 0.\bar{3}\]

para decir que \(\frac{1}{3}\) es exactamente igual al decimal formado añadiendo el dígito 3 un número infinito de veces a la derecha del punto decimal. Todo un misterio en nuestra formación básica en matemáticas ¿no es así?. ¿Cómo podemos añadirle un número infinito de cualesquiera dígitos a un número decimal?

Pensemos en la siguiente secuencia de números

\[\frac{1}{2}\quad \frac{2}{3}\quad \frac{3}{4}\quad \frac{4}{5}\quad\dots\]

Como se puede observar en su representación gráfica, los números son cada vez más grandes, pero avanzan cada vez más despacio, siendo siempre menores a 1:

Si damos un millón (0.999999), mil millones (0.999999999), un billón (0.999999999999) o mil billones (0.999999999999999) de pasos en la secuencia, nos encontraremos con números muy, muy cercanos a 1, cuya representación gráfica casi está sobre la pequeña línea vertical que representa el lugar de 1 en la gráfica; pero si pudiéramos aplicar un aumento suficiente a la imagen, nos daríamos cuenta que todavía hay espacio para el número siguiente y el siguiente y el siguiente… tantos como queramos andar en la secuencia.

Otro aspecto interesante de la secuencia es que si pudiéramos usar una lupa muy poderosa para observar el lugar del uno, nuestros primeros pasos en la secuencia quedarían fuera del foco de la lupa;  pero si siguiéramos avanzando, en algún momento —quizás en el quintillonésimo paso, o  más adelante— entraríamos en el foco de la lupa y ya no saldríamos de ahí, sin importar qué tan poderosa fuera nuestra lupa.

En resumen, los números en la secuencia se van acercando cada vez más al uno, entrando en cualquier espacio que definamos alrededor del uno sin importar que tan pequeño sea, y además quedándose ahí en algún paso y los que le siguen.

Decimos entonces que 1 es el límite de la secuencia y lo escribimos así:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = 1\]

La misma notación nos permite representar el caso de \(\frac{1}{3}\) como límite de la secuencia 0.3, 0.33, 0.333, etc.

\[\lim_{n\to\infty}0.\overbrace{33\dots3}^{n} =\frac{1}{3} \]

dejando así mucho más claro —¡eso espero!— lo que queremos decir con \(\frac{1}{3}\) es exactamente igual al decimal formado añadiendo el dígito 3 un número infinito de veces a la derecha del punto decimal.

Posdata

Sobre la raíz de 2

No es difícil demostrar que el procedimiento descrito en La raíz de 2 tiene un límite y este es, precisamente, \(\sqrt{2}\). Para usar la notación anterior, tendríamos que definir la secuencia de manera recursiva: \(s_1 = 1\), \(s_2=2\) y definir \(s_{n}\) en términos de los elementos anteriores. En este caso particular, es más fácil usar un algoritmo como el que se presenta a continuación escrito en el lenguaje de programación Python:

mindiff = 0.000000000000001 

min = 1.0
max = 2.0

print "1 : %.16f"%(min)
print "2 : %.16f"%(max)

n = 3
sn = (min + max) /2

while abs(sn*sn - 2.0) > mindiff :
  print n, ": %.16f"%(sn)
  if sn*sn < 2.0 :
    min = sn
  else:
    max = sn
  sn = (min + max)/2
  n = n+1
print n, ": %.16f"%(sn)

Sobre Pi (\(\pi\))

Demostrar que el procedimiento descrito en Antes de Pi (\(\pi\)) tiene un límite y que éste es precisamente \(\pi\) (el número por el que se tiene que multiplicar el diámetro para calcular el perímetro de la circunferencia) es algo más complicado, pero también es posible. Definir, la secuencia, en cambio, es mucho más fácil —¡una cosa por otra!

Sobre la definición de límite

Aunque se introdujo una notación para representar límites, no se definió formalmente su significado, para lo cual puede servir de inspiración el texto previo a la introducción de la notación que describe de manera informal las dos condiciones básicas para su existencia.