La locura de raíz de 2

Antes del siglo VI A.C. —esto es, hace más de 2500 años— las matemáticas tenían un carácter puramente práctico: servían para contar el ganado, para medir terrenos, para calcular el volumen de recipientes, entre otros muchos usos. A lo largo de la historia de la humanidad, mucho del desarrollo y del aprendizaje de las matemáticas ha tenido ese carácter práctico: para resolver problemas del mundo real.

En el siglo VI A.C., los griegos empezaron a ver y construir las matemáticas de manera distinta. Observaron que podemos dibujar un cuadrado en una hoja de papel sin tener que pensar que representa algo físico, como podría ser un terreno para construir o el piso del cuarto en una casa:

Aunque utilicemos una regla y una buena pluma, si observamos el cuadrado con una lupa de bastante aumento nos daremos cuenta que no es perfecto, porque a veces la tinta se corre un poco hacia adentro o hacia afuera. Mucho menos es el caso de un cuadrado pintado a mano alzada como el de arriba—bueno, con la mano alzada sobre el ratón de la computadora ;-). Sin embargo, podemos  imaginarlo como un cuadrado perfecto, con cuatro lados de exactamente el mismo tamaño y con ángulos de 90° entre ellos. Si imaginamos que cada lado mide 4 centímetros, podemos calcular el área del cuadrado con total precisión: \(4\times4 = 16\); \(16 \mbox{cm}^2\) exactos.

Algunos pensadores griegos empezaron a explorar estas nuevas matemáticas, inspiradas en el mundo real pero independientes, sustentadas en conceptos puros y exactos, como los de punto, línea, uno, dos, tres… y quedaron maravillados con lo que encontraron. Tanto así que llegaron a pensar que lo verdaderamente real eran las matemáticas, los números  y las figuras geométricas, puras y exactas, y que la realidad que observamos es solamente una sombra imprecisa de esa realidad divina. Para ellos cinco gatos y cinco perros eran solamente la sombra del número 5, el espíritu que compartían, sin importar su color de piel, su tamaño, su raza e incluso su especie.

Llegó así a formarse una secta religiosa —conocida como Los Pitagóricos por el nombre de su líder, Pitágoras— que adoraba los números enteros y las figuras geométricas. En particular, pensaban que cualquier cosa podía medirse utilizando  números enteros; esto es, que sí tenemos dos o más segmentos de recta de tamaños diferentes

siempre podemos encontrar un segmento de recta que cabe exactamente un número entero de veces en cada segmento de recta.

En este caso, tenemos un pequeño segmento de recta que divide al segmento de arriba en \(15\) partes y al de abajo en \(11\) partes. Si el de arriba fuera nuestra unidad de medida, entonces mediría \(1\) y el de abajo mediría
$$\frac{11}{15}$$

Al revés, si el de abajo fuera nuestra unidad de medida, entonces mediría \(1\) y el de arriba mediría
$$\frac{15}{11}$$

Fue entonces cuando hicieron dos ENORMES descubrimientos. El primero tiene que ver con establecer con absoluta precisión la longitud de la diagonal de un cuadrado a partir de la longitud de sus lados. El segundo, con encontrar un segmento de recta que divida exactamente a los lados y a la diagonal de un cuadrado.

El video que se muestra a continuación describe el primer descubrimiento.

Al final del video se resaltan tres cuadrados, dos de ellos iguales al cuadrado original, con dos triángulos del mismo tamaño. En cambio, el tercer cuadrado, el más grande, tiene como lado la diagonal del cuadrado original y tiene cuatro triángulos iguales. Esto es… ¡el área del cuadrado grande es la misma que el área de los dos cuadrados pequeños juntos!

Si usamos \(a\) para representar la longitud del lado del cuadrado original, tenemos entonces que el área de cada cuadrado pequeño es \(a^2\) y el área del cuadrado grande es entonces
$$2a^2$$

Si \(a=1\) entonces el área del cuadrado grande es simplemente \(2\) y su lado, la diagonal de cuadrado original, mide
$$\sqrt{2}$$

Los Pitagóricos se pusieron tan felices con este descubrimiento que ¡organizaron una gran fiesta!

Su segundo descubrimiento, en cambio, no los hizo tan felices. Buscando un segmento de recta que cupiera exactamente un número entero de veces en \(\sqrt{2}\) y exactamente otro número entero de veces en \(1\), encontraron que si esto fuera posible y \(p\) fuera el número de veces que cupiera en \(\sqrt{2}\) y \(q\) el número de veces que cupiera en \(1\), entonces
$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$

Si así fuera y elevaramos al cuadrado los dos lados de la ecuación, tendríamos
$$2 = \frac{p^2}{q^2}$$

y si pasáramos a \(q^2\) del otro lado de la ecuación,
$$2q^2 = p^2$$

lo que nos dice que \(p^2\) sería un número par, divisible entre dos, y entonces \(p\) debería ser también un número par, porque solamente un número par produce otro número par al elevarse al cuadrado,
$$p = 2n$$

y en ese caso tendríamos que
$$ 2q^2 = (2n)^2 = 4n^2$$

Si diviéramos entonces las dos partes entre \(2\), tendríamos que
$$q^2 =2n^2$$

y eso nos diría que \(q\) tendría que ser también un número par
$$q=2m$$

En ese caso
$$\frac{p}{q} = \frac{2n}{2m} = \frac{n}{m}$$

y
$$\sqrt{2} = \frac{n}{m}$$

Pero el argumento anterior aplicaría igual para \(m\) y \(n\), que tendrían que ser pares, y debería haber otros dos números más pequeños que pudieran sustituirlos; y a esos dos, otros dos más pequeños, y así un número interminable de veces. Pero eso es imposible, porque por muy grandes que fueran \(p\) y \(q\), de tanto dividirlos entre \(2\) llegaríamos al \(1\) y ¡no podríamos pasar de ahí!

Por lo tanto, no hay ningún segmento de recta que divida exactamente tanto a \(1\) como a \(\sqrt{2}\) y eso daba al traste con la creencia de Los Pitagóricos en la divinidad de los números enteros. Entonces ¡decidieron mantenerlo en secreto!

Con el tiempo, se han descubierto muchos otros números que comparten esta misma propiedad: que no se pueden expresar como la razón de dos números enteros y que, por lo tanto, han sido llamados números sin razón; esto es, números irracionales.

¡Qué locura!

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La explicación del segundo gran descubrimiento de Los Pitagóricos es esencialmente una demostración completa, salvo porque la afirmación de que solamente un número par puede producir otro número par al elevarse al cuadrado, no se justificó para mantener el foco en el tema central. Pero no es difícil demostrarlo.

El video, en cambio, solamente ilustra la demostración, pero no justifica todos sus pasos. La demostración completa es más laboriosa.

La melodía utilizada como fondo sonoro del video es el Motete para Soprano y Orquesta – 3. Allegro, interpretado por la Advent Chamber Orchestra y disponible de manera gratuita en línea en Free Music Archive.