Llenando los huecos

En la mayor parte de las notas anteriores hemos manejado secuencias —para aproximar a \(\pi\) y a \(\sqrt{2}\), para introducir el concepto de límite y para comparar sus velocidades de crecimiento— lo cual tiene sentido porque lo primero que aprendemos de las matemáticas es a contar y al hacerlo ordenamos los números que aprendemos, empezando con el más pequeño, 1, y de ahí en adelante. Creamos así nuestra primera secuencia:

1, 2, 3, 4, 5,…

Dos es más grande que 1 porque las colecciones de cosas que contamos con 2 tienen más cosas —una más, de hecho— que las colecciones que contamos con uno. Tres es más grande que 2, 4 es más grande que 3, y así nos seguimos.

Todas las demás secuencias  que hemos construido son simplemente un ordenamiento de otros números que realizamos asociando uno de ellos con el 1, otro con el 2, otro con el 3 y así sucesivamente. Por ejemplo,

\[\begin{matrix}
1 & \to & 1^2 \\
2 & \to & 2^2 \\
3 & \to & 3^2 \\
\dots\\
\end{matrix}
\]

lo cual solemos escribir poniendo los números 1, 2, 3, etc. como subíndices de una letra,

\[s_1 = 1^2, s_2 = 2^2, s_3 = 3^2,…, s_n = n^2.\]

Con el tiempo, los seres humanos pasaron de solamente contar a también medir y con ello surgieron otros números: los racionales o fracciones. Al medir “descubrimos” huecos entre los números enteros que podíamos llenar con una infinidad de fracciones.

Algunas fracciones entre 0 y 1

Como se comentó en La locura de raíz de 2, primero se pensó que con las fracciones se llenaban todos los huecos entre los números enteros, pero resultó que no: que había otros números que no se podían escribir como fracciones, como es el caso de \(\pi\) y \(\sqrt{2}\), entre muchísimos otros. Con ellos se llenaron finalmente todos los huecos.

Los nuevos números enriquecen nuestras secuencias en dos sentidos. El más sencillo, es que ahora podemos tener secuencias de números enteros, racionales o irracionales. Por ejemplo,

\[\begin{matrix}
1 & \to & \sqrt{1} \\
2 & \to & \sqrt{2} \\
3 & \to & \sqrt{3} \\
\dots\\
\end{matrix}
\]

La otra, más interesante, es que podemos tener “secuencias” en las que los índices no son ya nuestros queridos números enteros:

\[\begin{matrix}
1 & \to & 2^1 \\
\frac{1}{2} & \to & 2^{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{2} & \to & 2^{\sqrt{2}} \\
\pi & \to &2^\pi\\
\dots\\
\end{matrix}
\]

De esta manera, la gráfica de las secuencias lineal, cuadrática, cúbica y exponencial, que observamos punteadas en la nota Crecimiento exponencial, ahora se ven como una una línea continua, porque están definidas para todos los números:

Para distinguir estas “secuencias” nuevas de las secuencias anteriores, a estas últimas les llamamos funciones y usamos una notación distinta:

\[\begin{matrix}
f(x)&=x \\
g(x)&=x^2 \\
h(x)&=x^3 \\
p(x)&=e^x\\
\dots\\
\end{matrix}
\]

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Esta entrada participó en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión fue, en esa ocasión, matematicascercanas.