Tengo un candado que me permite asegurar mi laptop a cualquier cosa que se pueda amarrar —de preferencia, algo que sea mucho más difícil de mover que mi laptop, porque si no, ¡se llevan las dos cosas! El candado es de combinación de cuatro dígitos y solamente una combinación de todas las posibles lo abre; algo así como el NIP (número de identificación personal) de una tarjeta de débito o crédito.
Cada vez que uso el candado para asegurar mi laptop, procuro dejar el candado en ceros, como se muestra en la imagen de arriba, para no dar pista alguna sobre la combinación que abre el candado a quien se le antoje llevarse mi laptop —de esta manera, he pensado, tendrán que probar muchas de las combinaciones posibles antes de dar con la que abre el candado. Como el candado tiene cuatro ruedas con 10 dígitos (del 0 al 9), esto quiere decir que hay
\[ 10\times 10\times 10\times 10 = 10^4 = 10,000\]
combinaciones posibles, muchas de las cuales tendrá que probar el ladrón antes de dar con la correcta.
Sin embargo, hoy que iba caminando por la calle me puse a imaginar qué pensaría un ladrón tratando de adivinar la clave correcta o, por lo menos, buscando no tener que probar tantas antes de dar con ella. Se me ocurrió entonces lo siguiente:
- Eliminación del cero. “Mmm… dejó el candado en ceros. Lo más probable entonces es que el 0 no sea parte de la combinación que abre el candado, porque de otra forma sentiría que me está regalando un dígito”. Podrás pensar que esta primera reflexión del ladrón solamente eliminaría un dígito de cada rueda, que aparentemente no es gran cosa; pero si fuera el caso el nuevo número combinaciones posibles sería \[ 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6,561\] lo cual nos dice que con sólo este razonamiento el ladrón eliminaría ¡más de la tercera parte de las combinaciones posibles!
- Eliminación de repetidos. “Como tiene cuidado de poner el candado en ceros, probablemente tuvo cuidado al escoger los números de la combinación y buscó no repetirlos, para hacer la combinación más difícil”. ¿Cuántas combinaciones posibles, sin ceros, cumplen esta condición? Bueno, el primer dígito (llamémosle \(d_1\)) puede ser cualquiera de 1 a 9, lo que nos da nueve opciones en total; el segundo dígito (llamémosle \(d_2\)) puede ser cualquier de 1 a 9, pero distinto de \(d_1\), lo que nos da ocho opciones en total; y siguiendo el mismo razonamiento, solamente se puede escoger de entre siete opciones para el tercer dígito y de entre seis opciones para el cuarto. El número de combinaciones posibles después de aplicar el razonamiento que elimina el cero y el razonamiento que elimina dígitos repetidos es entonces \[9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3,024\] con lo cual el ladrón habría eliminado ya ¡más de dos terceras partes de las combinaciones posibles!
- Números bien repartidos. “Y si fue tan cuidadoso, probablemente buscó repartir bien los dígitos entre 0 y 9, para que no hubiera solamente números pequeños, o grandes, o números seguidos” ¿Cuántas combinaciones posibles hay que no incluyen el cero, que tienen número sin repetir y que usa dígitos “bien repartidos”? Como necesitamos escoger cuatro dígitos, podemos dividir los dígitos del 1 al 9 en cuatro grupos:
- los más chiquitos: 1 y 2;
- los pequeños: 3, y 4;
- los medianos: 6 y 7;
- los grandes: 8 y 9.
El 5 lo podemos poner ya sea entre los pequeños o los medianos. Entonces, para el primer dígito, \(d_1\), podemos escoger cualquiera entre 1 y 9, lo que nos da nueve opciones en total; para el segundo dígito, \(d_2\), podemos escoger cualquier dígito entre 1 y 9 que no esté en el grupo de \(d_1\), lo cual nos da como máximo siete opciones; para el tercer dígito, \(d_3\), podemos escoger cualquier dígito entre 1 y 9 que no esté ni en el grupo de \(d_1\) ni en el grupo de \(d_2\), lo cual nos da cinco opciones como máximo; y para el cuarto dígito, \(d_4\), no tendremos más de tres opciones. Así que las tres reflexiones juntas le dejarían al ladrón un número total de solamente \[9\times 7\times 5 \times 3 = 945\] combinaciones. Esto es, ¡habría eliminado más del 90% de todas las combinaciones posibles!
Como te podrás imaginar, la combinación que tan cuidadosamente escogí para mi candado está entre esas 945 combinaciones que probaría el ladrón 🙁 Lo cual nos habla de lo predecibles que somos con frecuencia los seres humanos, de la importancia de escoger combinaciones de candados y NIP al azar —mucho más difíciles de “adivinar”— y de la importancia que tiene la combinatoria en el mundo real, particularmente en el contexto de la seguridad (creación y rompimiento de contraseñas).