Este inicio del año 2020 mi hermana Patricia me hizo favor de compartir en Facebook la siguiente imagen:
La pregunta inmediata es ¿por qué tendría que estar tan feliz la hipotenusa de ese triángulo rectángulo? Como es un triángulo rectángulo, podemos averiguarlo aplicando el Teorema de Pitágoras —sabemos que es un triángulo rectángulo por el cuadrado pintado con líneas entrecortadas en su ángulo inferior izquierdo.
\[\mbox{hipotenusa}^2 = 1050^2 + 1728^2 = 1102500 + 2985984 = 4088484.\]
De donde podemos concluir que
\[\mbox{hipotenusa} = \sqrt{4088484} = \textbf{2022}.\]
¡Con razón está la hipotenusa tan contenta! ¡Feliz 2022!
Mmm… pero, ¿cómo supo mi hermana, o quien haya producido la imagen, o quien se lo haya dicho a quien produjo la imagen, que \(1050^2 + 1728^2 = 2022^2\)? En otras palabras, ¿cómo encontrar dos números naturales —distintos de cero, positivos y sin decimales)— que, junto con 2022, satisfagan el Teorema de Pitágoras? Esto es, si los llamamos\(m\) y \(n\), entonces
\[m^2+n^2 = 2022^2.\]
Afortunadamente, ni \(m\) ni \(n\) pueden ser mayores de 2022, porque entonces la suma de sus cuadrados sería mayor que \(2022^2\), de modo que no tenemos que probar demasiados números para encontrar una solución. Podríamos comenzar reescribiendo la ecuación como
\[n^2 = 2022^2 – m^2\]
y como
\[n = \sqrt{2022^2 – m^2}.\]
y entonces probar con \(m = 1, 2, 3…, 2021\). Para cada valor necesitaríamos sacar la raíz del lado izquierdo y observar si el resultado es un número entero.
Te darás cuentas entonces que, al principio, el valor resultante para \(n\) es mucho más grande que el de \(m\); pero conforme el valor de \(m\) se va haciendo más grande, el valor resultante para \(n\) se hace más pequeño, de modo que, en algún momento, sus valores se cruzan y, a partir de ahí, los valores de \(m\) son más grandes que los valores resultantes para \(n\). No hay necesidad de seguir buscando una solución una vez que esto sucede porque los valores enteros que podría tener \(n\) ya los habrías probado en \(m\). De modo que nada más tendríamos que probar hasta cuando los valores de \(m\) y \(n\) se cruzan; esto es, hasta cuando son iguales.
Entonces, si los valores de \(m\) y \(n\) son iguales, digamos que ambos son \(x\), entonces
\[x^2 + x^2 = 2022^2.\]
Esto es,
\[2x^2 = 2022^2\]
y entonces
\[x^2 = \frac{2022^2}{2} .\]
De donde
\[x = \sqrt{\frac{2022^2}{2}} = \frac{2022}{\sqrt{2}} \approx 1430.\]
Pero, ¿por qué tenemos que hacer las pruebas nosotros, incluso usando la calculadora, si las computadoras son mejores que nosotros para probar una y otra vez, sin cansarse, sin que les de hambre, ni sed, ni se aburran, ni tengan que ir al baño? ¡Pongamos la computadora a trabajar!
La idea es sencilla, computadora, lo único que tienes que hacer es
- Ponerle un valor a \(m\), comenzando en 1 y terminando e 1430.
- Con ese valor de \(m\) calcular el valor de \(n\) usando la fórmula \(n = \sqrt{2022^2 – m^2}\).
- Si el valor de \(n\) es un número entero, escribe los valores de \(m\) y \(n\).
Esto mismo, escrito en el lenguaje de programación Python, se vería así:
from math import sqrt
h = 2022
h2 = h*h
x = int(h/sqrt(2))+1
for m in range(1,x):
n = sqrt(h2 - m*m)
if n == int(n):
print(m, int(n))
Y el resultado será, precisamente,
1050 1728
Luego ¡podrías probar con otros años por venir!
Más matemáticas
Pero, ¿qué tal si no sabemos programar o preferimos hacer más matemáticas? Una idea que viene a la cabeza tras la aparición de \(\sqrt{2}\) arriba es que \(2022 = 2\times 1011\) y entonces la ecuación original se puede reescribir como
\[m^2+n^2 = 2022^2 = {(2\times 1011)}^2 = 2^2 \times 1011^2 = 4\times 1011^2.\]
Si los valores de \(m\) y \(n\) fueran números pares, entonces tendrían la forma \(m = 2a\) , \(n=2b\) y entonces
\[4\times 1011^2 = {(2a)}^2 + {(2b)}^2 = 2^2a^2+2^2b^2 = 4a + 4b\]
que se puede simplificar a
\[1011^2 = a^2 + b^2\]
¡y el problema se hace más pequeño! De hecho, incluso para la computadora, que ahora tendría que buscar solamente una solución entre números menores a \(1011/\sqrt{2} \approx 714\). Esto es, ¡1308 números menos que en el problema original y 714 números menos que en el programa anterior!
Sin embargo, ¿qué pasaría si los valores de \(m\) o \(n \) fueran pares?
Para empezar, si el valor de una de ellas fuera impar, su cuadrado sería impar y entonces el valor de la otra tendría que ser también impar —esto es, porque no puedes multiplicar dos números impares y que te de un número par, ni puedes sumar un número par y uno impar de modo que el resultado sea par. De modo que ambas tendrían la forma \(m = 2a+1\) , \(n = 2b+1\) y entonces
\[4\times 1011^2 = {(2a+1)}^2 + {(2b+1)}^2 = (4a^2 + 4a + 1) + (4b^2 + 4b + 1) = 4(a^2+b^2+a+b) + 2\]
que se puede simplificar a
\[2\times 1011^2 = 2(a^2+b ^2+a+b) + 1.\]
Si le ponemos un nombre a la parte más compleja, \(c = a^2+b^2+a+b\), entonces
\[2\times 1011^2 = 2c+1,\]
lo cual querría decir que un número par (\(2\times 1011^2\)) es igual a un número impar (\(2c+1\)), lo cual ¡no puede suceder! De modo que \(m\) y \(n\) tienen que ser pares y la simplificación del problema comentada arriba es real.
¡Hey, pero , \(1011 = 3\times 337\)! Como te podrás imaginar, \(m\) y \(n\) también tienen que ser divisbles entre 3 —puedes hacer las matemáticas para comprobarlo— y el problema se reduce aún más, a
\[d^2+e^2 = 337^2\]
y solamente hace falta probar \(337/\sqrt{2} \approx 238\) números. Esto es, ¡1784 número menos que en el problema original!
Lamentablemente, no hay manera de simplificar más el problema porque 337 es un número primo, pero una reducción al 12% del problema original no está nada mal si pensaras resolverlo a mano.
La imagen del encabezado fue tomada de Total Reporter.